Cosa ti racconta un albero?

sabato 20 ottobre 2012

La formula dell'armonia

Quante volte abbiamo notato come in natura siano presenti delle “geometrie” ricorrenti ed armoniche: ad esempio, la chioma di un albero, la corolla di un fiore, i cristalli di ghiaccio? Quasi che un “Divino Architetto” vi abbia trasfuso, nel dar forma alla materia, la propria sapienza numerica e simbolica. A conferma di ciò, da questa breve ricerca, emerge che in Natura dominano alcune regole  “auree” per lo sviluppo armonico di ogni organismo e del loro insieme.
Dopo aver letto quanto segue, di fronte ad intricati intrecci di rami e foglie ed alla loro apoteosi, di volta in volta, chiamata selva, foresta, giungla, mi viene da pensare che il disordine è solo apparente e che la casualità e la disarmonia sono elementi esogeni al perfetto ordine naturale.
Anche la nostra mente, che di naturale deve aver pur conservato qualcosa, quando libera da occupazioni cosiddette pratiche, tende verso la naturale armonia: quante volte ci divertiamo a disegnare ghirigori più o meno geometrici? Semplici scarabocchi, a volte, diventano serie di figure geometriche o spirali. Spesso tracciamo, inconsapevolmente, delle strutture dalle proprietà particolari.
Ecco, ad esempio, una struttura che, per  forma e  nome, ben si colloca nei nostri discorsi e dalla quale è partita la presente ricerca: il cosiddetto “albero di Pitagora”, utile anche per un ripassino del famoso teorema.

Iniziamo a disegnare un quadrato con sopra un triangolo rettangolo isoscele che abbia l’ipotenusa corrispondente al lato del quadrato; dopo ciò, disegniamo altri due quadrati sui due cateti del triangolo. Ripetiamo ora il procedimento per ogni successivo quadrato e triangolo, fino ad ottenere una figura di albero. Sarà subito evidente che, nel primo gruppo, per il teorema di Pitagora, la somma delle aree dei due quadrati più piccoli è uguale all’area del quadrato iniziale, ma anche in tutti gli altri passaggi successivi, le somme delle aree dei quadrati piccoli sono pari all’area dei quadrati maggiori.

Una variante di questo albero, è la sua versione asimmetrica.
Si può avere un albero asimmetrico semplicemente costruendo un triangolo rettangolo qualsiasi(anziché isoscele, ndr) sul lato del primo quadrato.
La forma avvolta non è altro che una spirale logaritmica.

Il discorso sulle spirali, a questo punto, può allargarsi alla, ormai celeberrima, successione di Fibonacci(matematico pisano del XII secolo) ed alla sua rappresentazione grafica.
La successione di Fibonacci è una successione in sequenza di numeri interi naturali, ciascun numero della quale è il risultato della somma dei due precedenti. La successione si definisce matematicamente assegnando i valori dei due primi termini, F0:= 0 ed F1:= 1, e chiedendo che per ogni successivo sia Fn := Fn-1 + Fn-2 con n>1.
I primi numeri di Fibonacci (includendo lo 0) sono:
La successione di Fibonacci possiede moltissime proprietà di grande interesse. La proprietà verosimilmente principale, di ampio utilizzo nelle altre scienze, è quella per la quale il rapporto Fn / Fn-1, ossia tra un termine e il suo precedente, al tendere di n all'infinito tende al numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea o numero di Fidia.
Quindi:     

dove


Ciò, non significa altro che il rapporto tra ciascun numero e quello che lo precede (semplificando molto) sarà sempre circa 1,62.
Tutto ciò può essere tradotto graficamente.
Disegniamo un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro (lato/lato= 1.6180339887…), per poi suddividerlo in un quadrato e un altro rettangolo. Continuando a suddividere, ad ogni suddivisione, otterremo quadrati e rettangoli sempre con i lati in rapporto aureo.


Dopo aver suddiviso fin dove è possibile, per i nostri mezzi, prendiamo un compasso e, puntandolo opportunamente, facciamo passare una curva per i vertici consecutivi di tutti i rettangoli.
La curva che passa per i vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è detta spirale di Fibonacci e la si riconosce spesso nelle conchiglie, nei fiori del  girasole e nella disposizione delle foglie su un ramo.
Un esempio di maggior importanza botanica riguarda la cosiddetta fillotassi, cioè il distacco e la disposizione di foglie e rami lungo il fusto della pianta. La simmetria, ordinata secondo i rapporti del numero di Fibonacci, permette alle piante la disposizione migliore per l'accesso alla luce, alla pioggia o, nei casi in cui è necessario, per ombreggiare i frutti.
I numeri di Fibonacci si ritrovano quando contiamo il numero di volte che giriamo intorno allo stelo, andando di foglia in foglia, per unire due foglie sovrastanti. Se contiamo nell’altra direzione, avremo un diverso numero di giri per lo stesso numero di foglie.
Ma troviamo un numero di Fibonacci anche se contiamo le foglie incontrate per arrivare alla foglia direttamente sopra quella di partenza, contando anche questa.
Il numero di giri in ogni direzione ed il numero di foglie incontrate, sono tre numeri di Fibonacci consecutivi.
Esempio di fillotassi : le foglie crescono secondo una spirale tale che il numero di giri formati ruotando in un verso e nell’altro sono due numeri di Fibonacci consecutivi.
Le foglie attraversate, unite a quella di partenza costituiscono un terzo numero di Fibonacci, consecutivo ai primi due.

La ricorrenza di tale rapporto aureo in numerose strutture naturali, generalmente giudicate belle ed armoniose, ha di fatto assimilato tale proporzione all'ideale stesso di bellezza e armonia, tanto da essere utilizzato nelle opere artistiche .
Numerosi sono gli esempi:  basti pensare alla famosa figura umana inscritta in un cerchio e in un quadrato, ripreso da Vitruvio e riprodotto nei disegni di Leonardo da Vinci, al Partenone, alla piramide di Cheope, al tempio di Athena a Paestum.

 Il Partenone sull'Acropoli di Atene (V sec. a.C) costruito sotto la supervisione di Fidia. Applica la sezione aurea alle sue proporzioni generali e nei particolari






Sezione della conchiglia del Nautilus (Nautilus pompilius - Philum: Mollusca): esempio della perfezione di una spirale logaritmica esistente in natura


Il numero delle spirali identificabili nel capolino di molte asteracee - da alcune margherite fino all'enorme girasole - hanno un andamento sia orario che antiorario incrociati. Il rispettivo numero - mai uguale - costituisce un'ulteriore sorpresa

Si possono creare infinite spirali, partendo dai quadrati. Si tratta di forme che si ripetono allo stesso modo su scale diverse e che ci riportano al concetto di frattale.
Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, ovvero non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità.
 Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
L’albero di Pitagora è un buon esempio di frattale matematico. Frattali del genere sono detti biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. Uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura.


 
Nel regno vegetale si trovano esempi comuni di ramificazioni frattali: dalle felci, agli alberi, ai fiori.


A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.
Inoltre, è possibile introdurre una certa casualità nella costruzione, stabilendo di lasciare al caso la decisione di creare una spirale verso sinistra o verso destra a seconda della disposizione dei lati dei triangoli rettangoli. questa introduzione di piccoli disturbi nella costruzione di frattali rende quest’ultimi più simili a oggetti naturali come alberi, piante, coralli e spugne.
Se volessimo trovare un esempio di frattale vicino casa non avremmo che da andare al mercato e soffermarci al banco delle verdure, un bel broccolo romanesco sarà il nostro frattale, da portare a casa e cucinare a dovere. Chissà che non faccia anche bene a chi non mastica molto la matematica.






Il metodo costruttivo dei frattali è un processo che può essere ripetuto per un numero teoricamente infinito di volte: ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione), e dopo un certo numero di iterazioni l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche (oppure l'hardware del computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti): pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.
I frattali sono formati da un numero infinito di punti mentre possiamo rappresentare solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad esempio l’albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i primi 12 passaggi.

A ben vedere, siamo praticamente circondati da frattali. Ad esempio, se guardassimo la terra dallo spazio, potremmo osservare i continenti con le loro coste, gli oceani e i mari, i fiumi maggiori.



Avvicinandoci ad una porzione precisa del nostro pianeta, osservandola quindi più da vicino, la struttura del paesaggio non cambia: ancora coste, e "piccoli mari" e corsi d'acqua.
Le coste, in particolare, hanno infinita lunghezza anche se sono chiuse in una superficie finita, e i dettagli, per quanto ingranditi, non cambiano. Ecco, di nuovo, i frattali!

Anche nelle strutture anatomiche sono presenti i frattali.
Nell'immagine (qui sotto) possiamo ammirare un disegno di Leonardo da Vinci raffigurante alcuni organi interni del corpo umano.




Oggi, possiamo individuare in questa rappresentazione strutture riconducibili ai frattali: tra queste, i vasi sanguigni, le fibre nervose e le strutture canalizzate.

Da studi effettuati su calchi di polmone umano e di altre specie di mammiferi è risultato che dette misurazioni mostrano i rapporti tipici di oggetti frattali.
Anche se i vari organi assolvono a funzioni differenti, la loro struttura frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di estensione: se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta "frattale" fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.
Alla ricerca di una spiegazione logica, l'anatomista austriaco Rupert Riedl (1925-2005), teorico dell'evoluzione, ha rilevato come la natura proceda con il massimo di economia, riproponendo la sequenza genetica di codifica di una certa struttura per un numero ‘n' di volte; tali codici morfologici sono peraltro validi solo per le macro-strutture e non sono applicabili alla struttura microscopica (cellule e organuli cellulari).

Ai successivi ingrandimenti della complessa struttura frattale, si può rilevare un punto di transizione, oltre il quale non è più possibile seguire la struttura di base, fino ad allora sempre ripetuta, che diventa confusa, ‘caotica' nel vero senso della parola. Questo momento si chiama appunto ‘transizione al caos', che è un concetto derivato dalla matematica frattale. Nel punto in cui la struttura da ordinata diventa confusa, non più riproducibile, aumenta di molto l'entropia(forza distruttrice interna di ogni sistema. ndr) del sistema.
Nei termini della fisica, da cui il concetto è derivato, l'‘entropia' esprime una misura del disordine di un sistema (o più in generale dell'universo); in termini più semplici l'entropia aumenta quando un sistema passa da uno stato di ordine ad uno di disordine. L'esempio del ghiaccio può servire a chiarire il fenomeno: nel processo di fusione, che ha un andamento irreversibile, di pari passo con la dissoluzione della struttura frattale (i cristalli di ghiaccio) si ha un aumento dell'entropia. Invertire il processo è innaturale e richiede un dispendio energetico.
Il successo dei frattali negli anni '80, in coincidenza con lo sviluppo delle tecniche di generazione delle immagini al computer, ha anche favorito lo sviluppo di un'arte grafica frattale, e perfino di una musica frattale.

Tutti, ciascuno a suo modo, apprezziamo la bellezza; attribuiamo l'attributo istintivo di ‘bello', senza ulteriori specificazioni, ad alcune strutture e non ad altre; riconosciamo la ripetitività di alcune forme, osserviamo le fantasiose architetture naturali. Sembra che alcune caratteristiche percepite dai sensi siano particolarmente piacevoli per la gran parte degli umani; attraverso i secoli e in luoghi diversi.
Un'ipotesi ricorrente è la supposta predilezione del cervello umano per la simmetria. Alcuni studi - fatti su bambini, per esempio - avrebbero dimostrato una preferenza non culturalmente indotta per oggetti simmetrici, piuttosto che asimmetrici.
Ma qui l'argomentazione può diventare faziosa, avendo i due opposti concetti - simmetria e asimmetria - nel corso dei secoli costituito quasi le bandiere, rispettivamente, del conformismo e della libertà espressiva, in analogia con tante altre antinomie: apollineo/dionisiaco, ordine/caos, fino alle scempiaggini celentanesche lento/rock.



Mosaici e decorazioni moresche (arabe)  dell'Alhambra di Granada (metà XIV sec.); da essi fu influenzato anche Cornelius Escher, con i suoi motivi grafici ricorrenti



All'affermazione classica di Plotino (filosofo greco - 205-270 d.C),  - "La bellezza visibile nasce dalla simmetria delle parti, l'una in rapporto all'altra, e ciascuna in rapporto all'insieme; dunque la bellezza di tutti gli esseri è la loro simmetria e la loro misura" - se ne possono opporre altrettante di segno contrario. Per rimanere a tempi recenti, la cultura occidentale, dalla seconda metà dell'‘800 in poi, è stata segnata dall'incontro con l'arte orientale di impronta taoista e zen, centrata sull'asimmetria come elemento destabilizzante e dinamico, essenza stessa del mutamento.
D'altra parte simmetria e prevedibilità hanno sempre rappresentato per l'uomo la condizione per il controllo dell'universo intorno a lui; l'ordine era rassicurante, quanto il caos destabilizzante.
Simmetria, dal greco syn, insieme e mètros, misurare, opposta a caos, dal greco chàos, baratro/abisso, sono entrambe presenti nel nostro universo sensibile. Principi in perenne contrapposizione, dalla cui lotta, grazie al prevalere dell’ordine, ma nella  generale tendenza al caos, si  è sviluppata l’evoluzione quale la conosciamo. Nell’ambito di questa lotta, quale pensate possa essere il nostro ruolo, con la nostra irrazionalità, il nostro egoismo, la nostra pretesa di sviluppo economico senza fine e ad ogni costo?


Marino de Liguori

Fonti: